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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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2. Calcular aplicando el método de sustitución.
d) ∫cos⁡(x)sin⁡5(x)dx\int \frac{\cos (x)}{\sin^{5}(x)} dx

Respuesta

Usamos la sustitución u=sin⁡(x)u = \sin(x). Entonces, du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx, así que dx=ducos⁡(x)dx = \frac{du}{\cos(x)}.


∫cos⁡(x)sin⁡5(x) dx=∫cos⁡(x)u5⋅ducos⁡(x)=∫1u5⋅du=∫u−5 du\int \frac{\cos(x)}{\sin^5(x)} \, dx = \int \frac{\cos(x)}{u^5} \cdot \frac{du}{\cos(x)} = \int \frac{1}{u^5} \cdot du = \int u^{-5} \, du

∫u−5 du=u−4−4=(−14u4)+C \int u^{-5} \, du = \frac{u^{-4}}{-4} = (-\frac{1}{4u^4}) + C
Sustituimos uu por sin⁡(x)\sin(x):
−14sin⁡4(x)+C-\frac{1}{4\sin^4(x)} + C


¡Y listo! Viste que parecía fea pero es super fácil.
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Juliana
24 de octubre 18:03
juli por que el coseno lo escribís como 1?
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Julieta
PROFE
29 de octubre 19:12
@Juliana Hola Ju! Porque se cancela con el cos(x) del numerador. Puse un paso extra para que se entienda mejor :)
1 Responder